Analysis Beispiele

$\int \cos^{7} (x) d x$

Schritt 1

Faktorisiere $\cos^{6} (x)$ aus.

$\int \cos^{6} (x) \cos (x) d x$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\int {\cos (x)}^{2 (3)} \cos (x) d x$

Schritt 2.2

Schreibe ${\cos (x)}^{2 (3)}$ als Potenz um.

$\int {(\cos^{2} (x))}^{3} \cos (x) d x$

$\int {(\cos^{2} (x))}^{3} \cos (x) d x$

Schritt 3

Schreibe $\cos^{2} (x)$ in $1 - \sin^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int {(1 - \sin^{2} (x))}^{3} \cos (x) d x$

Schritt 4

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

$\cos (x)$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int {(1 - u^{2})}^{3} d u$

$\int {(1 - u^{2})}^{3} d u$

Schritt 5

Multipliziere ${(1 - u^{2})}^{3}$ aus.

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Schritt 5.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\int 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Schritt 5.2

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\int 1 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Schritt 5.3

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Schritt 5.4

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Schritt 5.5

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) + {(- u^{2})}^{3} d u$

Schritt 5.6

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} {(- u^{2})}^{2} d u$

Schritt 5.7

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 5.8

Bewege $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 5.9

Versetze die Klammern.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 5.10

Versetze die Klammern.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 5.11

Bewege $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

Schritt 5.12

Versetze die Klammern.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

Schritt 5.13

Versetze die Klammern.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.14

Bewege $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.15

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.16

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.17

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\int 1 + 3 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.18

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\int 1 + 3 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.19

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.20

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.21

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} - 3 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.22

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.23

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{2 + 2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.24

Addiere $2$ und $2$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.25

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.26

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.27

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - (u^{2} u^{2}) u^{2} d u$

Schritt 5.28

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{2 + 2} u^{2} d u$

Schritt 5.29

Addiere $2$ und $2$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{4} u^{2} d u$

Schritt 5.30

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - (u^{4} u^{2}) d u$

Schritt 5.31

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{4 + 2} d u$

Schritt 5.32

Addiere $4$ und $2$ .

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{6} d u$

Schritt 5.33

Stelle $1$ und $- 3 u^{2}$ um.

$\int - 3 u^{2} + 1 + 3 u^{4} - u^{6} d u$

Schritt 5.34

Bewege $1$ .

$\int - 3 u^{2} + 3 u^{4} + 1 - u^{6} d u$

Schritt 5.35

Stelle $- 3 u^{2}$ und $3 u^{4}$ um.

$\int 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 - u^{6} d u$

Schritt 5.36

Bewege $1$ .

$\int 3 u^{4} - 3 u^{2} - u^{6} + 1 d u$

Schritt 5.37

Bewege $- 3 u^{2}$ .

$\int 3 u^{4} - u^{6} - 3 u^{2} + 1 d u$

Schritt 5.38

Stelle $3 u^{4}$ und $- u^{6}$ um.

$\int - u^{6} + 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 d u$

$\int - u^{6} + 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 d u$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - u^{6} d u + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int u^{6} d u + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{6}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

Schritt 9

Da $3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 \int u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

Schritt 11

Da $- 3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 \int u^{2} d u + \int d u$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

Schritt 13

Wende die Konstantenregel an.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Vereinfache.

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Schritt 14.1.1

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $u^{7}$ .

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Schritt 14.1.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $u^{5}$ .

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Schritt 14.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

Schritt 14.2

Vereinfache.

$- \frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{5}}{5} - u^{3} + u + C$

$- \frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{5}}{5} - u^{3} + u + C$

Schritt 15

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$- \frac{\sin^{7} (x)}{7} + \frac{3 \sin^{5} (x)}{5} - \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$

Schritt 16

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{7} \sin^{7} (x) + \frac{3}{5} \sin^{5} (x) - \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$