Analysis Beispiele

$\int \cot^{2} (7 x) d x$

Schritt 1

Sei $u = 7 x$ . Dann ist $d u = 7 d x$ , folglich $\frac{1}{7} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 7 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Schritt 1.1.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$7$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \cot^{2} (u) \frac{1}{7} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\cot^{2} (u)$ und $\frac{1}{7}$ .

$\int \frac{\cot^{2} (u)}{7} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{7}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{7} \int \cot^{2} (u) d u$

Schritt 4

Schreibe $\cot^{2} (u)$ in $- 1 + \csc^{2} (u)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\frac{1}{7} \int - 1 + \csc^{2} (u) d u$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{7} (\int - 1 d u + \int \csc^{2} (u) d u)$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{7} (- u + C + \int \csc^{2} (u) d u)$

Schritt 7

Da die Ableitung von $- \cot (u)$ gleich $\csc^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (u)$ gleich $- \cot (u)$ .

$\frac{1}{7} (- u + C - \cot (u) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$\frac{1}{7} (- u - \cot (u)) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $7 x$ .

$\frac{1}{7} (- (7 x) - \cot (7 x)) + C$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{7} (- 7 x - \cot (7 x)) + C$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{7} (- 7 x) + \frac{1}{7} (- \cot (7 x)) + C$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $7$ aus $- 7 x$ heraus.

$\frac{1}{7} (7 (- x)) + \frac{1}{7} (- \cot (7 x)) + C$

Schritt 10.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{7} (7 (- x)) + \frac{1}{7} (- \cot (7 x)) + C$

Schritt 10.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- x + \frac{1}{7} (- \cot (7 x)) + C$

Schritt 10.4

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $\cot (7 x)$ .

$- x - \frac{\cot (7 x)}{7} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$- x - \frac{1}{7} \cot (7 x) + C$