Analysis Beispiele

$\int \cot^{4} (x) d x$

Schritt 1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\int {\cot (x)}^{2 (2)} d x$

Schritt 1.2

Schreibe ${\cot (x)}^{2 (2)}$ als Potenz um.

$\int {(\cot^{2} (x))}^{2} d x$

Schritt 2

Schreibe $\cot^{2} (x)$ in $- 1 + \csc^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int {(- 1 + \csc^{2} (x))}^{2} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

$\int 1 - 2 \csc^{2} (x) + \csc^{4} (x) d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d x + \int - 2 \csc^{2} (x) d x + \int \csc^{4} (x) d x$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \int - 2 \csc^{2} (x) d x + \int \csc^{4} (x) d x$

Schritt 6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$x + C - 2 \int \csc^{2} (x) d x + \int \csc^{4} (x) d x$

Schritt 7

Da die Ableitung von $- \cot (x)$ gleich $\csc^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (x)$ gleich $- \cot (x)$ .

$x + C - 2 (- \cot (x) + C) + \int \csc^{4} (x) d x$

Schritt 8

Wende die Reduktionsformel an.

$x + C - 2 (- \cot (x) + C) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2}{3} \int \csc^{2} (x) d x$

Schritt 9

Da die Ableitung von $- \cot (x)$ gleich $\csc^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (x)$ gleich $- \cot (x)$ .

$x + C - 2 (- \cot (x) + C) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (x) + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$x + 2 \cot (x) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (x)) + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $\cot (x)$ .

$x + 2 \cot (x) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} - \frac{2 \cot (x)}{3} + C$

Schritt 10.2.2

Um $2 \cot (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + 2 \cot (x) \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 \cot (x)}{3} + C$

Schritt 10.2.3

Kombiniere $2 \cot (x)$ und $\frac{3}{3}$ .

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2 \cot (x) \cdot 3}{3} - \frac{2 \cot (x)}{3} + C$

Schritt 10.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2 \cot (x) \cdot 3 - 2 \cot (x)}{3} + C$

Schritt 10.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{6 \cot (x) - 2 \cot (x)}{3} + C$

Schritt 10.2.6

Subtrahiere $2 \cot (x)$ von $6 \cot (x)$ .

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{4 \cot (x)}{3} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$x - \frac{1}{3} \cot (x) \csc^{2} (x) + \frac{4}{3} \cot (x) + C$