Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{{(1 - 6 t)}^{4}} d t d t$

Schritt 1

Sei $u = 1 - 6 t$ . Dann ist $d u = - 6 d t$ , folglich $- \frac{1}{6} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 - 6 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 - 6 t$ .

$\frac{d}{d t} [1 - 6 t]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 6 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 6 t]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 6 t]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 6 t]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [- 6 t]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 6 t$ nach $t$ gleich $- 6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 6 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$0 - 6$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$- 6$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{- 6} d u d t$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{u^{4}} (- \frac{1}{6}) d u d t$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{4}}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{1}{u^{4} \cdot 6} d u d t$

Schritt 2.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $u^{4}$ .

$\int - \frac{1}{6 u^{4}} d u d t$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{6 u^{4}} d u d t$

Schritt 4

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u) d t$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $d$ und $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{d}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u t$

Schritt 5.1.2

Kombiniere $t$ und $\frac{d}{6}$ .

$- \frac{t d}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Schritt 5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.2.1

Bringe $u^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{t d}{6} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Schritt 5.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{t d}{6} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- \frac{t d}{6} \int u^{- 4} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 4}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Kombiniere $u^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{t d}{6} (- \frac{u^{- 3}}{3} + C)$

Schritt 7.1.2

Bringe $u^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}} + C)$

Schritt 7.2

Schreibe $- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}} + C)$ als $- \frac{1}{6} t d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$ um.

$- \frac{1}{6} t d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Kombiniere $t$ und $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{t}{6} d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $d$ und $\frac{t}{6}$ .

$- \frac{d t}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{d t}{6} \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Schritt 7.3.4

Mutltipliziere $\frac{d t}{6}$ mit $1$ .

$\frac{d t}{6} \cdot \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Schritt 7.3.5

Mutltipliziere $\frac{d t}{6}$ mit $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$\frac{d t}{6 (3 u^{3})} + C$

Schritt 7.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{d t}{18 u^{3}} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $1 - 6 t$ .

$\frac{d t}{18 {(1 - 6 t)}^{3}} + C$