Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{9 - x^{2}}} d x d x$

Schritt 1

Sei $x = 3 \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 3 \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ positiv ist.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t d x$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $3 \sin (t)$ an.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Schritt 2.1.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $9$ aus $- 9 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $9$ aus $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

Schritt 2.1.6

Schreibe $9 \cos^{2} (t)$ als ${(3 \cos (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t d x$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} (3 \cos (t))} (3 \cos (t)) d t d x$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 \cos (t)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $3 \cos (t)$ aus ${(3 \sin (t))}^{2} (3 \cos (t))$ heraus.

$\int \frac{1}{3 \cos (t) ({(3 \sin (t))}^{2})} (3 \cos (t)) d t d x$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{3 \cos (t) {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t d x$

Schritt 2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2}} d t d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sin (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{{(3 (\sin (t)))}^{2}} d t d x$

Schritt 2.2.2.2

Wende die Produktregel auf $3 (\sin (t))$ an.

$\int \frac{1}{3^{2} \sin^{2} (t)} d t d x$

Schritt 2.2.2.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int \frac{1}{9 \sin^{2} (t)} d t d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{9}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wandle von $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ nach $\csc^{2} (t)$ um.

$\frac{1}{9} \int \csc^{2} (t) d t d x$

Schritt 4.2

Kombiniere $d$ und $\frac{1}{9}$ .

$\frac{d}{9} \int \csc^{2} (t) d t x$

Schritt 4.3

Kombiniere $x$ und $\frac{d}{9}$ .

$\frac{x d}{9} \int \csc^{2} (t) d t$

Schritt 5

Da die Ableitung von $- \cot (t)$ gleich $\csc^{2} (t)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (t)$ gleich $- \cot (t)$ .

$\frac{x d}{9} (- \cot (t) + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{x d}{9} (- \cot (t) + C)$ als $\frac{1}{9} x d (- \cot (t)) + C$ um.

$\frac{1}{9} x d (- \cot (t)) + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $x$ .

$\frac{x}{9} d (- \cot (t)) + C$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $\frac{x}{9}$ und $d$ .

$\frac{x d}{9} (- \cot (t)) + C$

Schritt 6.2.3

Kombiniere $\frac{x d}{9}$ und $\cot (t)$ .

$- \frac{x d \cot (t)}{9} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$- \frac{x d \cot (\arcsin (\frac{x}{3}))}{9} + C$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arcsin (\frac{x}{3})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ verläuft. Folglich ist $\cot (\arcsin (\frac{x}{3}))$ $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}$ .

$- \frac{x d \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}}{9} + C$

Schritt 8.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{x d (\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Schritt 8.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \frac{x d (\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Schritt 8.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{x}{3}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Schritt 8.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{x d (\sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Schritt 8.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Schritt 8.7

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Schritt 8.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Schritt 8.9

Mutltipliziere $\frac{3 + x}{3}$ mit $\frac{3 - x}{3}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Schritt 8.10

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Schritt 8.11

Schreibe $\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ als ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ um.

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Schritt 8.11.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(3 + x) (3 - x)$ heraus.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Schritt 8.11.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9$ heraus.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Schritt 8.11.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$- \frac{x d (\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))} \frac{3}{x})}{9} + C$

Schritt 8.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{x d (\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{3}{x})}{9} + C$

Schritt 8.13

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$- \frac{x d (\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x})}{9} + C$

Schritt 8.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x d (\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x})}{9} + C$

Schritt 8.14.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{x d (\sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{1}{x})}{9} + C$

Schritt 8.15

Kombiniere $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ und $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x d \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Schritt 8.16

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 8.16.1

Kombiniere $x$ und $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ .

$- \frac{d \frac{x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Schritt 8.16.2

Kombiniere $d$ und $\frac{x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ .

$- \frac{\frac{d (x \sqrt{(3 + x) (3 - x)})}{x}}{9} + C$

Schritt 8.17

Entferne unnötige Klammern.

$- \frac{\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Schritt 8.18

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.18.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.18.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Schritt 8.18.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\frac{d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{1}}{9} + C$

Schritt 8.18.2

Dividiere $d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ durch $1$ .

$- \frac{d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{9} + C$

$- \frac{1}{9} d \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + C$