Analysis Beispiele

$\int \tan^{4} (2 x) \sec^{4} (2 x) d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \tan^{4} (u_{1}) \sec^{4} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\tan^{4} (u_{1})$ .

$\int \frac{\tan^{4} (u_{1})}{2} \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{\tan^{4} (u_{1})}{2}$ und $\sec^{4} (u_{1})$ .

$\int \frac{\tan^{4} (u_{1}) \sec^{4} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \tan^{4} (u_{1}) \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Schreibe $4$ um als $2$ plus $2$

$\frac{1}{2} \int \tan^{4} (u_{1}) {\sec (u_{1})}^{2 + 2} d u_{1}$

Schritt 4.2

Schreibe ${\sec (u_{1})}^{2 + 2}$ als $\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})$ um.

$\frac{1}{2} \int \tan^{4} (u_{1}) (\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 5

Schreibe $\sec^{2} (u_{1})$ in $1 + \tan^{2} (u_{1})$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\frac{1}{2} \int \tan^{4} (u_{1}) ((1 + \tan^{2} (u_{1})) \sec^{2} (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 6

Sei $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Dann ist $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Schritt 6.1.2

Die Ableitung von $\tan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} (1 + {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Schritt 7

Multipliziere ${u_{2}}^{4} (1 + {u_{2}}^{2})$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} \cdot 1 + {u_{2}}^{4} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere ${u_{2}}^{4}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{4} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8.2

Multipliziere ${u_{2}}^{4}$ mit ${u_{2}}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{4 + 2} d u_{2}$

Schritt 8.2.2

Addiere $4$ und $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{6} d u_{2}$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int {u_{2}}^{6} d u_{2})$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{4}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int {u_{2}}^{6} d u_{2})$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{6}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + \frac{1}{7} {u_{2}}^{7}) + C$

Schritt 13

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 13.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \tan^{5} (u_{1}) + \frac{1}{7} \tan^{7} (u_{1})) + C$

Schritt 13.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \tan^{5} (2 x) + \frac{1}{7} \tan^{7} (2 x)) + C$