Analysis Beispiele

$\int \tan^{3} (x) \sec^{4} (x) d x$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1

Schreibe $4$ um als $2$ plus $2$

$\int \tan^{3} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Schritt 1.2

Schreibe ${\sec (x)}^{2 + 2}$ als $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ um.

$\int \tan^{3} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Schritt 2

Schreibe $\sec^{2} (x)$ in $1 + \tan^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int \tan^{3} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

Schritt 3

Sei $u = \tan (x)$ . Dann ist $d u = \sec^{2} (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = \tan (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{3} (1 + u^{2}) d u$

Schritt 4

Multipliziere $u^{3} (1 + u^{2})$ .

$\int u^{3} \cdot 1 + u^{3} u^{2} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $u^{3}$ mit $1$ .

$\int u^{3} + u^{3} u^{2} d u$

Schritt 5.2

Multipliziere $u^{3}$ mit $u^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{3} + u^{3 + 2} d u$

Schritt 5.2.2

Addiere $3$ und $2$ .

$\int u^{3} + u^{5} d u$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{3} d u + \int u^{5} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int u^{5} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{5}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \frac{1}{6} u^{6} + C$

Schritt 9

Vereinfache.

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{1}{6} u^{6} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $\tan (x)$ .

$\frac{1}{4} \tan^{4} (x) + \frac{1}{6} \tan^{6} (x) + C$