Analysis Beispiele

$\int \tan^{3} (3 x) d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 3 x$ . Dann ist $d u_{1} = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \tan^{3} (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}$

Schritt 2

Kombiniere $\tan^{3} (u_{1})$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\tan^{3} (u_{1})}{3} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \tan^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 4

Faktorisiere $\tan^{2} (u_{1})$ aus.

$\frac{1}{3} \int \tan^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5

Schreibe $\tan^{2} (u_{1})$ in $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\frac{1}{3} \int (- 1 + \sec^{2} (u_{1})) \tan (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} \int - 1 \tan (u_{1}) + \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{3} (\int - 1 \tan (u_{1}) d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (- \int \tan (u_{1}) d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

Schritt 9

Das Integral von $\tan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| \sec (u_{1}) |)$ .

$\frac{1}{3} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

Schritt 10

Sei $u_{2} = \sec (u_{1})$ . Dann ist $d u_{2} = \sec (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{\sec (u_{1}) \tan (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u_{2} = \sec (u_{1})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $\sec (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})]$

Schritt 10.1.2

Die Ableitung von $\sec (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{3} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \int u_{2} d u_{2})$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (u_{1}) |) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

Schritt 13

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 13.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

Schritt 13.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sec (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (u_{1})) + C$

Schritt 13.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (3 x)) + C$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sec^{2} (3 x)$ .

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{\sec^{2} (3 x)}{2}) + C$

Schritt 14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} (- \ln (| \sec (3 x) |)) + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (3 x)}{2} + C$

Schritt 14.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\ln (| \sec (3 x) |)$ .

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (3 x)}{2} + C$

Schritt 14.4

Kombinieren.

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{1 \sec^{2} (3 x)}{3 \cdot 2} + C$

Schritt 14.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.5.1

Mutltipliziere $\sec^{2} (3 x)$ mit $1$ .

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{\sec^{2} (3 x)}{3 \cdot 2} + C$

Schritt 14.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{\ln (| \sec (3 x) |)}{3} + \frac{\sec^{2} (3 x)}{6} + C$

Schritt 15

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{3} \ln (| \sec (3 x) |) + \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$