Analysis Beispiele

$\int \sin^{2} (y) d y$

Schritt 1

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (y)$ als $\frac{1 - \cos (2 y)}{2}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1 - \cos (2 y)}{2} d y$

Schritt 2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 y) d y$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int d y + \int - \cos (2 y) d y)$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (y + C + \int - \cos (2 y) d y)$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (y + C - \int \cos (2 y) d y)$

Schritt 6

Sei $u = 2 y$ . Dann ist $d u = 2 d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = 2 y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 6.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} (y + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 7

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (y + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (y + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Schritt 9

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (y + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Schritt 10

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (y - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $2 y$ .

$\frac{1}{2} (y - \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\sin (2 y)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (y - \frac{\sin (2 y)}{2}) + C$

Schritt 12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} y + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 y)}{2}) + C$

Schritt 12.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y$ .

$\frac{y}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 y)}{2}) + C$

Schritt 12.4

Multipliziere $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 y)}{2})$ .

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Schritt 12.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sin (2 y)}{2}$ .

$\frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 12.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

Schritt 13

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$