Analysis Beispiele

$\int \sin^{7} (x) \cos^{5} (x) d x$

Schritt 1

Faktorisiere $\cos^{4} (x)$ aus.

$\int \sin^{7} (x) (\cos^{4} (x) \cos (x)) d x$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\int \sin^{7} (x) ({\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x)) d x$

Schritt 2.2

Schreibe ${\cos (x)}^{2 (2)}$ als Potenz um.

$\int \sin^{7} (x) ({(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

$\int \sin^{7} (x) ({(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

Schritt 3

Schreibe $\cos^{2} (x)$ in $1 - \sin^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int \sin^{7} (x) ({(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

Schritt 4

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

$\cos (x)$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{7} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

$\int u^{7} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Schritt 5

Multipliziere $u^{7} {(1 - u^{2})}^{2}$ aus.

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Schritt 5.1

Schreibe ${(1 - u^{2})}^{2}$ als $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ um.

$\int u^{7} ((1 - u^{2}) (1 - u^{2})) d u$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u^{7} (1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 5.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u^{7} (1 \cdot 1) + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u^{7} (1 \cdot 1) + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 5.8

Bewege $u^{7}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 5.9

Versetze die Klammern.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + u^{7} (1 \cdot - 1) u^{2} + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 5.10

Bewege $u^{7}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 5.11

Bewege $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot 1 u^{2}) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 5.12

Versetze die Klammern.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot 1) u^{2} + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 5.13

Bewege $u^{7}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Schritt 5.14

Bewege $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

Schritt 5.15

Versetze die Klammern.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

Schritt 5.16

Versetze die Klammern.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.17

Bewege $u^{7}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.18

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.19

Mutltipliziere $u^{7}$ mit $1$ .

$\int u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.20

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int u^{7} - u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.21

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int u^{7} - (u^{7} u^{2}) - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.22

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{7} - u^{7 + 2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.23

Addiere $7$ und $2$ .

$\int u^{7} - u^{9} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.24

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.25

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int u^{7} - u^{9} - (u^{7} u^{2}) - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.26

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{7 + 2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.27

Addiere $7$ und $2$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.28

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.29

Mutltipliziere $u^{7}$ mit $1$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Schritt 5.30

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{7 + 2} u^{2} d u$

Schritt 5.31

Addiere $7$ und $2$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{9} u^{2} d u$

Schritt 5.32

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{9 + 2} d u$

Schritt 5.33

Addiere $9$ und $2$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{11} d u$

Schritt 5.34

Subtrahiere $u^{9}$ von $- u^{9}$ .

$\int u^{7} - 2 u^{9} + u^{11} d u$

Schritt 5.35

Stelle $- 2 u^{9}$ und $u^{11}$ um.

$\int u^{7} + u^{11} - 2 u^{9} d u$

Schritt 5.36

Bewege $u^{7}$ .

$\int u^{11} - 2 u^{9} + u^{7} d u$

$\int u^{11} - 2 u^{9} + u^{7} d u$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{11} d u + \int - 2 u^{9} d u + \int u^{7} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{11}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{12} u^{12} + C + \int - 2 u^{9} d u + \int u^{7} d u$

Schritt 8

Da $- 2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 \int u^{9} d u + \int u^{7} d u$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{9}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 (\frac{1}{10} u^{10} + C) + \int u^{7} d u$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{7}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 (\frac{1}{10} u^{10} + C) + \frac{1}{8} u^{8} + C$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $u^{10}$ .

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 (\frac{u^{10}}{10} + C) + \frac{1}{8} u^{8} + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

$\frac{u^{12}}{12} - \frac{u^{10}}{5} + \frac{1}{8} u^{8} + C$

$\frac{u^{12}}{12} - \frac{u^{10}}{5} + \frac{1}{8} u^{8} + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{12} (x)}{12} - \frac{\sin^{10} (x)}{5} + \frac{1}{8} \sin^{8} (x) + C$

Schritt 13

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{12} \sin^{12} (x) - \frac{1}{5} \sin^{10} (x) + \frac{1}{8} \sin^{8} (x) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$