Analysis Beispiele

$f (x) = \sin (x)$ , $a = \frac{π}{3}$

Schritt 1

Betrachte die Funktion, die verwendet wird, um die Linearisierung bei $a$ zu bestimmen.

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Schritt 2

Setze den Wert von $a = \frac{π}{3}$ in die Linearisierungsfunktion ein.

$L (x) = f (\frac{π}{3}) + f' (\frac{π}{3}) (x - \frac{π}{3})$

Schritt 3

Berechne $f (\frac{π}{3})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 3.2

Vereinfache $\sin (\frac{π}{3})$ .

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$\sin (\frac{π}{3})$

Schritt 3.2.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 4

Bestimme die Ableitung und berechne sie bei $\frac{π}{3}$ .

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Schritt 4.1

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 4.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{3}$ .

$\cos (\frac{π}{3})$

Schritt 4.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 5

Setze die Komponenten in die Linearisierungsfunktion ein, um die Linearisierung bei $a$ zu ermitteln.

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} (x - \frac{π}{3})$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{π}{3})$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{π}{3})$

Schritt 6.3

Multipliziere $\frac{1}{2} (- \frac{π}{3})$ .

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{π}{3}$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{π}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{π}{6}$

Schritt 7