Analysis Beispiele

Berechne das Integral Integral über sin(x)^2cos(x)^4 nach x
Schritt 1
Vereinfache durch Herausfaktorisieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2
Schreibe als Potenz um.
Schritt 2
Benutze die Halbwinkelformel, um als neu zu schreiben.
Schritt 3
Benutze die Halbwinkelformel, um als neu zu schreiben.
Schritt 4
Sei . Dann ist , folglich . Forme um unter Verwendung von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1
Es sei . Ermittle .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.1
Differenziere .
Schritt 4.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 5
Vereinfache durch Ausmultiplizieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2
Vereinfache durch Vertauschen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.1
Schreibe als ein Produkt um.
Schritt 5.2.2
Schreibe als ein Produkt um.
Schritt 5.3
Multipliziere aus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.1
Schreibe die Potenz um als ein Produkt.
Schritt 5.3.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.4
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.5
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.6
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.7
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.8
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.9
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.10
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.11
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.12
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.13
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.14
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.15
Stelle und um.
Schritt 5.3.16
Stelle und um.
Schritt 5.3.17
Stelle und um.
Schritt 5.3.18
Bewege .
Schritt 5.3.19
Versetze die Klammern.
Schritt 5.3.20
Versetze die Klammern.
Schritt 5.3.21
Bewege .
Schritt 5.3.22
Stelle und um.
Schritt 5.3.23
Stelle und um.
Schritt 5.3.24
Versetze die Klammern.
Schritt 5.3.25
Versetze die Klammern.
Schritt 5.3.26
Bewege .
Schritt 5.3.27
Stelle und um.
Schritt 5.3.28
Stelle und um.
Schritt 5.3.29
Bewege .
Schritt 5.3.30
Stelle und um.
Schritt 5.3.31
Versetze die Klammern.
Schritt 5.3.32
Versetze die Klammern.
Schritt 5.3.33
Bewege .
Schritt 5.3.34
Stelle und um.
Schritt 5.3.35
Versetze die Klammern.
Schritt 5.3.36
Versetze die Klammern.
Schritt 5.3.37
Stelle und um.
Schritt 5.3.38
Stelle und um.
Schritt 5.3.39
Stelle und um.
Schritt 5.3.40
Bewege .
Schritt 5.3.41
Versetze die Klammern.
Schritt 5.3.42
Versetze die Klammern.
Schritt 5.3.43
Bewege .
Schritt 5.3.44
Bewege .
Schritt 5.3.45
Stelle und um.
Schritt 5.3.46
Stelle und um.
Schritt 5.3.47
Versetze die Klammern.
Schritt 5.3.48
Versetze die Klammern.
Schritt 5.3.49
Bewege .
Schritt 5.3.50
Bewege .
Schritt 5.3.51
Stelle und um.
Schritt 5.3.52
Stelle und um.
Schritt 5.3.53
Bewege .
Schritt 5.3.54
Stelle und um.
Schritt 5.3.55
Versetze die Klammern.
Schritt 5.3.56
Versetze die Klammern.
Schritt 5.3.57
Bewege .
Schritt 5.3.58
Bewege .
Schritt 5.3.59
Stelle und um.
Schritt 5.3.60
Versetze die Klammern.
Schritt 5.3.61
Versetze die Klammern.
Schritt 5.3.62
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.63
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.64
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.65
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.66
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.67
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.68
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.69
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.70
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.71
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.72
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.73
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.74
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.75
Kombiniere und .
Schritt 5.3.76
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.77
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.78
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.79
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.80
Kombiniere und .
Schritt 5.3.81
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.82
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.83
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.84
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.85
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.86
Kombiniere und .
Schritt 5.3.87
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.88
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.89
Kombiniere und .
Schritt 5.3.90
Potenziere mit .
Schritt 5.3.91
Potenziere mit .
Schritt 5.3.92
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 5.3.93
Addiere und .
Schritt 5.3.94
Addiere und .
Schritt 5.3.95
Kombiniere und .
Schritt 5.3.96
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.97
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.98
Kombiniere und .
Schritt 5.3.99
Kombiniere und .
Schritt 5.3.100
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.101
Kombiniere und .
Schritt 5.3.102
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.103
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.104
Kombiniere und .
Schritt 5.3.105
Kombiniere und .
Schritt 5.3.106
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.107
Kombiniere und .
Schritt 5.3.108
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.109
Kombiniere und .
Schritt 5.3.110
Potenziere mit .
Schritt 5.3.111
Potenziere mit .
Schritt 5.3.112
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 5.3.113
Addiere und .
Schritt 5.3.114
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.115
Kombiniere und .
Schritt 5.3.116
Kombiniere und .
Schritt 5.3.117
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.118
Kombiniere und .
Schritt 5.3.119
Potenziere mit .
Schritt 5.3.120
Potenziere mit .
Schritt 5.3.121
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 5.3.122
Addiere und .
Schritt 5.3.123
Kombiniere und .
Schritt 5.3.124
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.125
Kombiniere und .
Schritt 5.3.126
Kombiniere und .
Schritt 5.3.127
Kombiniere und .
Schritt 5.3.128
Kombiniere und .
Schritt 5.3.129
Potenziere mit .
Schritt 5.3.130
Potenziere mit .
Schritt 5.3.131
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 5.3.132
Addiere und .
Schritt 5.3.133
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.134
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.135
Kombiniere und .
Schritt 5.3.136
Kombiniere und .
Schritt 5.3.137
Potenziere mit .
Schritt 5.3.138
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 5.3.139
Addiere und .
Schritt 5.3.140
Subtrahiere von .
Schritt 5.3.141
Kombiniere und .
Schritt 5.3.142
Stelle und um.
Schritt 5.3.143
Stelle und um.
Schritt 5.3.144
Stelle und um.
Schritt 5.3.145
Bewege .
Schritt 5.3.146
Bewege .
Schritt 5.3.147
Bewege .
Schritt 5.3.148
Stelle und um.
Schritt 5.3.149
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 5.3.150
Subtrahiere von .
Schritt 5.3.151
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 5.3.152
Subtrahiere von .
Schritt 5.4
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.4.1
Schreibe als um.
Schritt 5.4.2
Schreibe als ein Produkt um.
Schritt 5.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.4.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.4.5
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 6
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 7
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 8
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 9
Faktorisiere aus.
Schritt 10
Schreibe in um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.
Schritt 11
Sei . Dann ist , folglich . Forme um unter Verwendung von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.1
Es sei . Ermittle .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.1.1
Differenziere .
Schritt 11.1.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 11.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 12
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 13
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 14
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 15
Gemäß der Potenzregel ist das Integral von nach gleich .
Schritt 16
Kombiniere und .
Schritt 17
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 18
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 19
Benutze die Halbwinkelformel, um als neu zu schreiben.
Schritt 20
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 21
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 21.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 21.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 22
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 23
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 24
Sei . Dann ist , folglich . Forme um unter Verwendung von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 24.1
Es sei . Ermittle .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 24.1.1
Differenziere .
Schritt 24.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 24.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 24.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 24.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 25
Kombiniere und .
Schritt 26
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 27
Das Integral von nach ist .
Schritt 28
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 29
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 30
Das Integral von nach ist .
Schritt 31
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 31.1
Vereinfache.
Schritt 31.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 31.2.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 31.2.2
Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von multiplizierst.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 31.2.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 31.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 31.2.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 31.2.4
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 31.2.5
Addiere und .
Schritt 32
Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 32.1
Ersetze alle durch .
Schritt 32.2
Ersetze alle durch .
Schritt 32.3
Ersetze alle durch .
Schritt 32.4
Ersetze alle durch .
Schritt 33
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 33.1
Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 33.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 33.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 33.1.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 33.1.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 33.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 34
Stelle die Terme um.