Analysis Beispiele

$\int \sin^{2} (3 x) \cos (3 x) d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \sin (3 x)$ . Dann ist $d u_{2} = 3 \cos (3 x) d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{2} = \cos (3 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \sin (3 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\sin (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x$ .

$\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (3 x) (3 \cdot 1)$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\cos (3 x) \cdot 3$

Schritt 1.1.3.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (3 x)$ .

$3 \cos (3 x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int {u_{2}}^{2} \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 2

Kombiniere ${u_{2}}^{2}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{{u_{2}}^{2}}{3} d u_{2}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{1}{3} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$ als $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$ um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3} {u_{2}}^{3} + C$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{9} {u_{2}}^{3} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (3 x)$ .

$\frac{1}{9} \sin^{3} (3 x) + C$