Analysis Beispiele

$\int \sin^{2} (π x) \cos^{5} (π x) d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = π x$ . Dann ist $d u_{1} = π d x$ , folglich $\frac{1}{π} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = π x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Schritt 1.1.2

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$π$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \sin^{2} (u_{1}) \cos^{5} (u_{1}) \frac{1}{π} d u_{1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{π}$ und $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{π} \cos^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{\sin^{2} (u_{1})}{π}$ und $\cos^{5} (u_{1})$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1}) \cos^{5} (u_{1})}{π} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{π}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{π}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) \cos^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 4

Faktorisiere $\cos^{4} (u_{1})$ aus.

$\frac{1}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) (\cos^{4} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) ({\cos (u_{1})}^{2 (2)} \cos (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 5.2

Schreibe ${\cos (u_{1})}^{2 (2)}$ als Potenz um.

$\frac{1}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) ({(\cos^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 6

Schreibe $\cos^{2} (u_{1})$ in $1 - \sin^{2} (u_{1})$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\frac{1}{π} \int \sin^{2} (u_{1}) ({(1 - \sin^{2} (u_{1}))}^{2} \cos (u_{1})) d u_{1}$

Schritt 7

Sei $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Dann ist $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Schritt 7.1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Schritt 8

Multipliziere ${u_{2}}^{2} {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ aus.

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Schritt 8.1

Schreibe ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ als $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ um.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} ((1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Schritt 8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Schritt 8.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Schritt 8.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2})) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Schritt 8.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (1 (- {u_{2}}^{2})) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Schritt 8.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} (1 \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (1 (- {u_{2}}^{2})) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Schritt 8.8

Bewege ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (1 (- {u_{2}}^{2})) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Schritt 8.9

Versetze die Klammern.

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (1 \cdot - 1) {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Schritt 8.10

Bewege ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} \cdot 1) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Schritt 8.11

Bewege ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2}) + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Schritt 8.12

Versetze die Klammern.

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- 1 \cdot 1) {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Schritt 8.13

Bewege ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2})) d u_{2}$

Schritt 8.14

Bewege ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Schritt 8.15

Versetze die Klammern.

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8.16

Versetze die Klammern.

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} (- 1 \cdot - 1) {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8.17

Bewege ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{π} \int 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8.18

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{π} \int 1 {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8.19

Mutltipliziere ${u_{2}}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8.20

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8.21

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - ({u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2}) - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8.22

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2 + 2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8.23

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8.24

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8.25

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - ({u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2}) - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8.26

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{2 + 2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8.27

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8.28

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8.29

Mutltipliziere ${u_{2}}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8.30

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{2 + 2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8.31

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{4} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 8.32

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{4 + 2} d u_{2}$

Schritt 8.33

Addiere $4$ und $2$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} - {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{6} d u_{2}$

Schritt 8.34

Subtrahiere ${u_{2}}^{4}$ von $- {u_{2}}^{4}$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} - 2 {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{6} d u_{2}$

Schritt 8.35

Stelle $- 2 {u_{2}}^{4}$ und ${u_{2}}^{6}$ um.

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{6} - 2 {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Schritt 8.36

Bewege ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{π} \int {u_{2}}^{6} - 2 {u_{2}}^{4} + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{π} (\int {u_{2}}^{6} d u_{2} + \int - 2 {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{6}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C + \int - 2 {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 11

Da $- 2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{π} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C - 2 \int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{4}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C - 2 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C) + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C - 2 (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C) + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Vereinfache.

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Schritt 14.1.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und ${u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Schritt 14.1.2

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und ${u_{2}}^{7}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{{u_{2}}^{7}}{7} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Schritt 14.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{π} (\frac{{u_{2}}^{7}}{7} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C) + \frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C)$

Schritt 14.2

Vereinfache.

$\frac{1}{π} (\frac{{u_{2}}^{7}}{7} - \frac{2 {u_{2}}^{5}}{5} + \frac{{u_{2}}^{3}}{3}) + C$

Schritt 15

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 15.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{π} (\frac{\sin^{7} (u_{1})}{7} - \frac{2 \sin^{5} (u_{1})}{5} + \frac{\sin^{3} (u_{1})}{3}) + C$

Schritt 15.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $π x$ .

$\frac{1}{π} (\frac{\sin^{7} (π x)}{7} - \frac{2 \sin^{5} (π x)}{5} + \frac{\sin^{3} (π x)}{3}) + C$

Schritt 16

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{π} (\frac{1}{7} \sin^{7} (π x) - \frac{2}{5} \sin^{5} (π x) + \frac{1}{3} \sin^{3} (π x)) + C$