Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) d x$

Schritt 1

Das Integral von $\cot (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Berechne $\ln (| \sin (x) |)$ bei $\frac{π}{2}$ und $\frac{π}{6}$ .

$\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |)$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |)$

Schritt 2.2.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{1}{2} |)$

Schritt 2.2.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| \frac{1}{2} |})$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\ln (\frac{1}{| \frac{1}{2} |})$

Schritt 2.3.2

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\ln (\frac{1}{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (1 \cdot 2)$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\ln (2)$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (2)$

Dezimalform:

$0.69314718 \dots$