Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \sec (x) \tan (x) d x$

Schritt 1

Da die Ableitung von $\sec (x)$ gleich $\sec (x) \tan (x)$ ist, ist das Integral von $\sec (x) \tan (x)$ gleich $\sec (x)$ .

$\sec (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Berechne $\sec (x)$ bei $\frac{π}{3}$ und $\frac{π}{4}$ .

$\sec (\frac{π}{3}) - \sec (\frac{π}{4})$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{3})$ ist $2$ .

$2 - \sec (\frac{π}{4})$

Schritt 2.2.2

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$2 - \frac{2}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 - (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 2.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 2.3.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 2.3.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 2.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$2 - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 - \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 2.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$2 - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.3.3.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$2 - \sqrt{2}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 - \sqrt{2}$

Dezimalform:

$0.58578643 \dots$