Analysis Beispiele

$\int \sec^{4} (x) d x$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1

Schreibe $4$ um als $2$ plus $2$

$\int {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Schritt 1.2

Schreibe ${\sec (x)}^{2 + 2}$ als $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ um.

$\int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2

Schreibe $\sec^{2} (x)$ in $1 + \tan^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

Schritt 3

Sei $u = \tan (x)$ . Dann ist $d u = \sec^{2} (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = \tan (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 1 + u^{2} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d u + \int u^{2} d u$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$u + C + \int u^{2} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 7

Vereinfache.

$u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$