Analysis Beispiele

$\int r^{2} e^{- \frac{2 r}{a}} d r$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = r^{2}$ und $d v = e^{- \frac{2 r}{a}}$ .

$r^{2} (- \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $e^{- \frac{2 r}{a}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$r^{2} (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

Schritt 2.2

Kombiniere $a$ und $\frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ .

$r^{2} (- \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

Schritt 2.3

Kombiniere $r^{2}$ und $\frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

Schritt 3

Da $- \frac{1}{2} a \cdot 2$ konstant bezüglich $r$ ist, ziehe $- \frac{1}{2} a \cdot 2$ aus dem Integral.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- \frac{1}{2} a \cdot 2 \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $a$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- \frac{a}{2} \cdot 2 \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- 2 \frac{a}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{a}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{- 2 a}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 a$ heraus.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{2 (- a)}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Schritt 4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{2 (- a)}{2 (1)} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{2 (- a)}{2 \cdot 1} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Schritt 4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{- a}{1} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Schritt 4.4.2.4

Dividiere $- a$ durch $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- a \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + 1 (a \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = r$ und $d v = e^{- \frac{2 r}{a}}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (r (- \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $e^{- \frac{2 r}{a}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (r (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

Schritt 6.2

Kombiniere $a$ und $\frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (r (- \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

Schritt 6.3

Kombiniere $r$ und $\frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

Schritt 6.4

Kombiniere $e^{- \frac{2 r}{a}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} a d r)$

Schritt 6.5

Kombiniere $a$ und $\frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $r$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - - \int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

Schritt 8

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + 1 \int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r$ mit $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

Schritt 9

Da $\frac{a}{2}$ konstant bezüglich $r$ ist, ziehe $\frac{a}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} d r)$

Schritt 10

Sei $u = - \frac{2 r}{a}$ . Dann ist $d u = - \frac{2}{a} d r$ , folglich $- \frac{a}{2} d u = d r$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 10.1

Es sei $u = - \frac{2 r}{a}$ . Ermittle $\frac{d u}{d r}$ .

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Schritt 10.1.1

Differenziere $- \frac{2 r}{a}$ .

$\frac{d}{d r} [- \frac{2 r}{a}]$

Schritt 10.1.2

Da $- \frac{2}{a}$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2 r}{a}$ nach $r$ gleich $- \frac{2}{a} \frac{d}{d r} [r]$ .

$- \frac{2}{a} \frac{d}{d r} [r]$

Schritt 10.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{2}{a} \cdot 1$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{2}{a}$

Schritt 10.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{2}{a}} d u)$

Schritt 11

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Schritt 11.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} \frac{1}{\frac{2}{a}} d u)$

Schritt 11.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{2}{a}$ zu dividieren.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} (1 \frac{a}{2}) d u)$

Schritt 11.3

Mutltipliziere $\frac{a}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} \frac{a}{2} d u)$

Schritt 11.4

Kombiniere $\frac{a}{2}$ und $e^{u}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - \frac{a e^{u}}{2} d u)$

Schritt 12

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} (- \int \frac{a e^{u}}{2} d u))$

Schritt 13

Da $\frac{a}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{a}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} (- (\frac{a}{2} \int e^{u} d u)))$

Schritt 14

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $\frac{a}{2}$ mit $\frac{a}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a \cdot a}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Schritt 14.2

Potenziere $a$ mit $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{1} a}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Schritt 14.3

Potenziere $a$ mit $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{1} a^{1}}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Schritt 14.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{1 + 1}}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Schritt 14.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Schritt 14.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{4} \int e^{u} d u)$

Schritt 15

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{4} (e^{u} + C))$

Schritt 16

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Schritt 16.1

Schreibe $- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{4} (e^{u} + C))$ als $- \frac{1}{2} r^{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$ um.

$- \frac{1}{2} r^{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Schritt 16.2

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Schritt 16.2.1

Kombiniere $r^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{r^{2}}{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Schritt 16.2.2

Kombiniere $a$ und $\frac{r^{2}}{2}$ .

$- \frac{a r^{2}}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Schritt 16.2.3

Kombiniere $e^{- \frac{2 r}{a}}$ und $\frac{a r^{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Schritt 16.2.4

Kombiniere $r$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{r}{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Schritt 16.2.5

Kombiniere $a$ und $\frac{r}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{a r}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Schritt 16.2.6

Kombiniere $e^{- \frac{2 r}{a}}$ und $\frac{a r}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Schritt 16.2.7

Kombiniere $a^{2}$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{a^{2}}{4} e^{u}) + C$

Schritt 16.2.8

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{a^{2}}{4}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) + C$

Schritt 16.2.9

Um $a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Schritt 16.2.10

Kombiniere $a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + \frac{a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 16.2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 16.2.12

Bringe $2$ auf die linke Seite von $a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})$ .

$\frac{- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + 2 a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})}{2} + C$

Schritt 17

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{2 r}{a}$ .

$\frac{- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + 2 a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} a^{2}}{4})}{2} + C$

Schritt 18

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} (- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + 2 a (- \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a r - \frac{1}{4} e^{- \frac{2 r}{a}} a^{2})) + C$