Analysis Beispiele

$\int \frac{2 x - 4}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Schritt 1

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 4$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\int \frac{2 (x) - 4}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\int \frac{2 x + 2 \cdot - 2}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Schritt 1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 2$ heraus.

$\int \frac{2 (x - 2)}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{x - 2}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Schritt 3

Sei $u = 3 x^{2} - 12 x + 1$ . Dann ist $d u = (6 x - 12) d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u = (x - 2) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = 3 x^{2} - 12 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $3 x^{2} - 12 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 12 x + 1]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 12 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Schritt 3.1.4.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.4.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$6 x - 12 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.1.5.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x - 12 + 0$

Schritt 3.1.5.2

Addiere $6 x - 12$ und $0$ .

$6 x - 12$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 6} d u$

Schritt 4.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $u$ .

$2 \int \frac{1}{6 u} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $2$ .

$\frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{2} - 12 x + 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 x^{2} - 12 x + 1 |) + C$