Analysis Beispiele

$\int \frac{2 x + 7}{{(2 x^{2} + 14 x)}^{4}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 2 x^{2} + 14 x$ . Dann ist $d u = (4 x + 14) d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = (2 x + 7) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 x^{2} + 14 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x^{2} + 14 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 14 x]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + 14 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [14 x]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [14 x]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14 x$ nach $x$ gleich $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 14 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x + 14 \cdot 1$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $14$ mit $1$ .

$4 x + 14$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{4}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{4} \cdot 2} d u$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u^{4}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{4}} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Bringe $u^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 4} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 4}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$ als $\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ um.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{3}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$

Schritt 6.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{3 \cdot u^{3}}) + C$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$- \frac{1}{2 (3 u^{3})} + C$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{1}{6 u^{3}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $2 x^{2} + 14 x$ .

$- \frac{1}{6 {(2 x^{2} + 14 x)}^{3}} + C$