Analysis Beispiele

$\int \frac{3 x + 2}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $x = \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positiv ist.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\int 3 \sin (t) + 2 d t$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 \sin (t) d t + \int 2 d t$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \sin (t) d t + \int 2 d t$

Schritt 5

Das Integral von $\sin (t)$ nach $t$ ist $- \cos (t)$ .

$3 (- \cos (t) + C) + \int 2 d t$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$3 (- \cos (t) + C) + 2 t + C$

Schritt 7

Vereinfache.

$- 3 \cos (t) + 2 t + C$

Schritt 8

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (x)$ .

$- 3 \cos (\arcsin (x)) + 2 \arcsin (x) + C$