Analysis Beispiele

$\int - \frac{2200 x}{\sqrt{25 - x^{2}}} d x$

Schritt 1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{2200 x}{\sqrt{25 - x^{2}}} d x$

Schritt 2

Da $2200$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2200$ aus dem Integral.

$- (2200 \int \frac{x}{\sqrt{25 - x^{2}}} d x)$

Schritt 3

Mutltipliziere $2200$ mit $- 1$ .

$- 2200 \int \frac{x}{\sqrt{25 - x^{2}}} d x$

Schritt 4

Sei $u = 25 - x^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 25 - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $25 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $25 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.2

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 x$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$- 2 x$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- 2200 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2200 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- 2200 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Schritt 5.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$- 2200 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- 2200 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2200$ .

$2200 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2200 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2200$ .

$\frac{2200}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 9.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2200$ und $2$ .

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Schritt 9.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2200$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1100}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 9.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1100}{2 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 9.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1100}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 9.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1100}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 9.1.2.2.4

Dividiere $1100$ durch $1$ .

$1100 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 9.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 9.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1100 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 9.2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$1100 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 9.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 9.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1100 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 9.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$1100 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 9.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1100 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$1100 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Schreibe $1100 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ als $1100 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$1100 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $1100$ mit $2$ .

$2200 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $25 - x^{2}$ .

$2200 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$