Analysis Beispiele

$\int \frac{12 x + 18}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $6$ aus $12 x + 18$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $6$ aus $12 x$ heraus.

$\int \frac{6 (2 x) + 18}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $6$ aus $18$ heraus.

$\int \frac{6 (2 x) + 6 (3)}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (2 x) + 6 (3)$ heraus.

$\int \frac{6 (2 x + 3)}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $3$ ist.

$- 1, 4$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\int \frac{6 (2 x + 3)}{\sqrt{(x - 1) (x + 4)}} d x$

Schritt 2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int \frac{2 x + 3}{\sqrt{(x - 1) (x + 4)}} d x$

Schritt 3

Sei $u = (x - 1) (x + 4)$ . Dann ist $d u = (2 x + 3) d x$ , folglich $\frac{1}{2 x + 3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = (x - 1) (x + 4)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $(x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 4)]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 1$ und $g (x) = x + 4$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.1.3

Differenziere.

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Schritt 3.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.1.3.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x - 1) (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x - 1) \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.1.3.4.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$x - 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x - 1 + (x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x - 1 + (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.1.3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x - 1 + (x + 4) (1 + 0)$

Schritt 3.1.3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.1.3.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$x - 1 + (x + 4) \cdot 1$

Schritt 3.1.3.8.2

Mutltipliziere $x + 4$ mit $1$ .

$x - 1 + x + 4$

Schritt 3.1.3.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$2 x - 1 + 4$

Schritt 3.1.3.8.4

Addiere $- 1$ und $4$ .

$2 x + 3$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$6 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$6 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 4.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$6 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$6 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $6 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ als $6 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$6 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$12 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $(x - 1) (x + 4)$ .

$12 {((x - 1) (x + 4))}^{\frac{1}{2}} + C$