Analysis Beispiele

$\int \frac{12}{1 + 9 x^{2}} d x$

Schritt 1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$12 \int \frac{1}{1 + 9 x^{2}} d x$

Schritt 2

Faktorisiere $9$ aus $1 + 9 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $9$ aus $1$ heraus.

$12 \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Faktorisiere $9$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$12 \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 (x^{2})} d x$

Schritt 2.3

Faktorisiere $9$ aus $9 (\frac{1}{9}) + 9 (x^{2})$ heraus.

$12 \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9} + x^{2})} d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{9}$ aus dem Integral.

$12 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $12$ .

$\frac{12}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $9$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{3 (4)}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{3} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x$

Schritt 5

Schreibe $\frac{1}{9}$ als ${(\frac{1}{3})}^{2}$ um.

$\frac{4}{3} \int \frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C)$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{3}$ zu dividieren.

$\frac{4}{3} (1 \cdot 3 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C)$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{4}{3} (3 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C)$

Schritt 7.1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{3}$ zu dividieren.

$\frac{4}{3} (3 \arctan (x \cdot 3) + C)$

Schritt 7.1.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{4}{3} (3 \arctan (3 x) + C)$

Schritt 7.2

Schreibe $\frac{4}{3} (3 \arctan (3 x) + C)$ als $\frac{4}{3} \cdot 3 \arctan (3 x) + C$ um.

$\frac{4}{3} \cdot 3 \arctan (3 x) + C$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $3$ .

$\frac{4 \cdot 3}{3} \arctan (3 x) + C$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{12}{3} \arctan (3 x) + C$

Schritt 7.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $3$ .

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Schritt 7.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{3 \cdot 4}{3} \arctan (3 x) + C$

Schritt 7.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 4}{3 (1)} \arctan (3 x) + C$

Schritt 7.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} \arctan (3 x) + C$

Schritt 7.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{1} \arctan (3 x) + C$

Schritt 7.3.3.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 \arctan (3 x) + C$