Analysis Beispiele

$\int \frac{16 x^{3}}{4 x^{4} + 3} d x$

Schritt 1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $16$ aus dem Integral.

$16 \int \frac{x^{3}}{4 x^{4} + 3} d x$

Schritt 2

Sei $u = 4 x^{4} + 3$ . Dann ist $d u = 16 x^{3} d x$ , folglich $\frac{1}{16} d u = x^{3} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 4 x^{4} + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $4 x^{4} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4} + 3]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{4} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{4}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$16 x^{3} + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $16 x^{3}$ und $0$ .

$16 x^{3}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$16 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{16} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{16}$ .

$16 \int \frac{1}{u \cdot 16} d u$

Schritt 3.2

Bringe $16$ auf die linke Seite von $u$ .

$16 \int \frac{1}{16 u} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{16}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{16}$ aus dem Integral.

$16 (\frac{1}{16} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{16}$ und $16$ .

$\frac{16}{16} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16}{16} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\int \frac{1}{u} d u$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $4 x^{4} + 3$ .

$\ln (| 4 x^{4} + 3 |) + C$