Analysis Beispiele

$\int \frac{1 - 2 \sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{z}} d z$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{z}$ als $z^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1 - 2 z^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{z}} d z$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{z}$ als $z^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1 - 2 z^{\frac{1}{3}}}{z^{\frac{1}{3}}} d z$

Schritt 3

Bringe $z^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (1 - 2 z^{\frac{1}{3}}) {(z^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d z$

Schritt 4

Multipliziere die Exponenten in ${(z^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 - 2 z^{\frac{1}{3}}) z^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d z$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\int (1 - 2 z^{\frac{1}{3}}) z^{\frac{- 1}{3}} d z$

Schritt 4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int (1 - 2 z^{\frac{1}{3}}) z^{- \frac{1}{3}} d z$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 1 z^{- \frac{1}{3}} - 2 z^{\frac{1}{3}} z^{- \frac{1}{3}} d z$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $z^{- \frac{1}{3}}$ mit $1$ .

$\int z^{- \frac{1}{3}} - 2 z^{\frac{1}{3}} z^{- \frac{1}{3}} d z$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int z^{- \frac{1}{3}} - 2 z^{\frac{1}{3} - \frac{1}{3}} d z$

Schritt 5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int z^{- \frac{1}{3}} - 2 z^{\frac{1 - 1}{3}} d z$

Schritt 5.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\int z^{- \frac{1}{3}} - 2 z^{\frac{0}{3}} d z$

Schritt 5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$\int z^{- \frac{1}{3}} - 2 z^{\frac{3 (0)}{3}} d z$

Schritt 5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\int z^{- \frac{1}{3}} - 2 z^{\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}} d z$

Schritt 5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int z^{- \frac{1}{3}} - 2 z^{\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}} d z$

Schritt 5.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int z^{- \frac{1}{3}} - 2 z^{\frac{0}{1}} d z$

Schritt 5.6.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\int z^{- \frac{1}{3}} - 2 z^{0} d z$

Schritt 5.7

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\int z^{- \frac{1}{3}} - 2 \cdot 1 d z$

Schritt 5.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\int z^{- \frac{1}{3}} - 2 d z$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int z^{- \frac{1}{3}} d z + \int - 2 d z$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $z^{- \frac{1}{3}}$ nach $z$ gleich $\frac{3}{2} z^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} z^{\frac{2}{3}} + C + \int - 2 d z$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{3}{2} z^{\frac{2}{3}} + C - 2 z + C$

Schritt 9

Vereinfache.

$\frac{3}{2} z^{\frac{2}{3}} - 2 z + C$