Analysis Beispiele

$\int \frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} d t$

Schritt 1

Sei $u = 1 + \sin (t)$ . Dann ist $d u = \cos (t) d t$ , folglich $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + \sin (t)$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + \sin (t)$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \sin (t)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sin (t)$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Schritt 1.1.3

Die Ableitung von $\sin (t)$ nach $t$ ist $\cos (t)$ .

$0 + \cos (t)$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $\cos (t)$ .

$\cos (t)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Schritt 3

Ersetze alle $u$ durch $1 + \sin (t)$ .

$\ln (| 1 + \sin (t) |) + C$