Analysis Beispiele

$\int \frac{8 x^{3} - 1}{2 x - 1} d x$

Schritt 1

Dividiere $8 x^{3} - 1$ durch $2 x - 1$ .

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$1$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $8 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$4 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $8 x^{3} - 4 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Schritt 1.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 1.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 1.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 1.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{2} - 2 x$

				$4 x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$

Schritt 1.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$

Schritt 1.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$4 x^{2}$	+	$2 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	-	$1$

Schritt 1.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	-	$1$

Schritt 1.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	-	$1$
							+	$2 x$	-	$1$

Schritt 1.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x - 1$

				$4 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	-	$1$
							-	$2 x$	+	$1$

Schritt 1.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	-	$1$
							-	$2 x$	+	$1$
										$0$

Schritt 1.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$\int 4 x^{2} + 2 x + 1 d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 x^{2} d x + \int 2 x d x + \int d x$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int x^{2} d x + \int 2 x d x + \int d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 x d x + \int d x$

Schritt 5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int x d x + \int d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Schritt 8.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

$\frac{4 x^{3}}{3} + x^{2} + x + C$

Schritt 8.3

Stelle die Terme um.

$\frac{4}{3} x^{3} + x^{2} + x + C$