Analysis Beispiele

$\int \frac{6 \arcsin (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Schritt 1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int \frac{\arcsin (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Schritt 2

Sei $u = \arcsin (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ , folglich $\sqrt{1 - x^{2}} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \arcsin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\arcsin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\arcsin (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$6 \int u d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $6 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ als $6 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ um.

$6 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{6}{2} u^{2} + C$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2} u^{2} + C$

Schritt 4.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} u^{2} + C$

Schritt 4.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} u^{2} + C$

Schritt 4.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{1} u^{2} + C$

Schritt 4.2.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 u^{2} + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $\arcsin (x)$ .

$3 {\arcsin (x)}^{2} + C$