Analysis Beispiele

$\int \frac{6 x^{3}}{2 x^{4} + 1} d x$

Schritt 1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int \frac{x^{3}}{2 x^{4} + 1} d x$

Schritt 2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{4})}^{1}$ um.

$6 \int \frac{x^{3}}{2 {(x^{4})}^{1} + 1} d x$

Schritt 3

Sei $u_{1} = x^{4}$ . Dann ist $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{1} = x^{4}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$6 \int \frac{1}{2 {u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache.

$6 \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 u_{1} + 1}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$6 \int \frac{1}{(2 u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1}$

Schritt 4.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $2 u_{1} + 1$ .

$6 \int \frac{1}{4 (2 u_{1} + 1)} d u_{1}$

Schritt 5

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$6 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $6$ .

$\frac{6}{4} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (3)}{4} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{2 u_{1} + 1} d u_{1}$

Schritt 7

Sei $u_{2} = 2 u_{1} + 1$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u_{2} = 2 u_{1} + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $2 u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1} + 1]$

Schritt 7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 u_{1} + 1$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Schritt 7.1.3

Berechne $\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ .

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Schritt 7.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Schritt 7.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Schritt 7.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Schritt 7.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 7.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 7.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 8.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 11

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

$\frac{3}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 13

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 13.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 u_{1} + 1$ .

$\frac{3}{4} \ln (| 2 u_{1} + 1 |) + C$

Schritt 13.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{4}$ .

$\frac{3}{4} \ln (| 2 x^{4} + 1 |) + C$