Analysis Beispiele

$\int \frac{5 x + 1}{(2 x + 1) (x - 1)} d x$

Schritt 1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{2 x + 1}$

Schritt 1.1.2

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Schritt 1.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $(2 x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(5 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(5 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(5 x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(5 x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.5.2

Dividiere $5 x + 1$ durch $1$ .

$5 x + 1 = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.6

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x + 1 = \frac{A (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.6.1.2

Dividiere $(A) (x - 1)$ durch $1$ .

$5 x + 1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x + 1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.6.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $A$ .

$5 x + 1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.6.4

Schreibe $- 1 A$ als $- A$ um.

$5 x + 1 = A x - A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x + 1 = A x - A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 1.1.6.5.2

Dividiere $(B) (2 x + 1)$ durch $1$ .

$5 x + 1 = A x - A + (B) (2 x + 1)$

Schritt 1.1.6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x + 1 = A x - A + B (2 x) + B \cdot 1$

Schritt 1.1.6.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x + 1 = A x - A + 2 B x + B \cdot 1$

Schritt 1.1.6.8

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$5 x + 1 = A x - A + 2 B x + B$

Schritt 1.1.7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.7.1

Bewege $B$ .

$5 x + 1 = A x - A + 2 x B + B$

Schritt 1.1.7.2

Bewege $- A$ .

$5 x + 1 = A x + 2 x B - A + B$

Schritt 1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$5 = A + 2 B$

Schritt 1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = - 1 A + B$

Schritt 1.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$5 = A + 2 B$

$1 = - 1 A + B$

$5 = A + 2 B$

$1 = - 1 A + B$

Schritt 1.3

Löse das Gleichungssystem.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Löse in $5 = A + 2 B$ nach $A$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $A + 2 B = 5$ um.

$A + 2 B = 5$

$1 = - 1 A + B$

Schritt 1.3.1.2

Subtrahiere $2 B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 1 A + B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 1 A + B$

Schritt 1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $5 - 2 B$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $1 = - 1 A + B$ durch $5 - 2 B$ .

$1 = - 1 (5 - 2 B) + B$

$A = 5 - 2 B$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.2.1

Vereinfache $- 1 (5 - 2 B) + B$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = - 1 \cdot 5 - 1 (- 2 B) + B$

$A = 5 - 2 B$

Schritt 1.3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$1 = - 5 - 1 (- 2 B) + B$

$A = 5 - 2 B$

Schritt 1.3.2.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$1 = - 5 + 2 B + B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 2 B + B$

$A = 5 - 2 B$

Schritt 1.3.2.2.1.2

Addiere $2 B$ und $B$ .

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

Schritt 1.3.3

Löse in $1 = - 5 + 3 B$ nach $B$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 5 + 3 B = 1$ um.

$- 5 + 3 B = 1$

$A = 5 - 2 B$

Schritt 1.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 B = 1 + 5$

$A = 5 - 2 B$

Schritt 1.3.3.2.2

Addiere $1$ und $5$ .

$3 B = 6$

$A = 5 - 2 B$

$3 B = 6$

$A = 5 - 2 B$

Schritt 1.3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $3 B = 6$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 B = 6$ durch $3$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

Schritt 1.3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 B}{3} = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

Schritt 1.3.3.3.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

$B = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

$B = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

Schritt 1.3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.3.3.1

Dividiere $6$ durch $3$ .

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

Schritt 1.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $2$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $A = 5 - 2 B$ durch $2$ .

$A = 5 - 2 \cdot 2$

$B = 2$

Schritt 1.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.4.2.1

Vereinfache $5 - 2 \cdot 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$A = 5 - 4$

$B = 2$

Schritt 1.3.4.2.1.2

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

Schritt 1.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = 1, B = 2$

Schritt 1.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{1}{2 x + 1} + \frac{2}{x - 1}$

Schritt 1.5

Entferne die Null aus dem Ausdruck.

$\int \frac{1}{2 x + 1} + \frac{2}{x - 1} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{2 x + 1} d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Schritt 3

Sei $u_{1} = 2 x + 1$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Es sei $u_{1} = 2 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Differenziere $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 3.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Schritt 4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Schritt 7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Schritt 8

Sei $u_{2} = x - 1$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Es sei $u_{2} = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 8.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 8.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 11

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 11.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + 2 \ln (| x - 1 |) + C$