Analysis Beispiele

$\int \frac{4 x^{3} - 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int \frac{4 x^{3}}{x} + \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{4 x^{3}}{x} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x^{1}} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x \cdot 1} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{x (4 x^{2})}{x \cdot 1} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{4 x^{2}}{1} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3.1.2.5

Dividiere $4 x^{2}$ durch $1$ .

$\int 4 x^{2} d x + \int \frac{- 5 \sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int 4 x^{2} d x + \int - \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int x^{2} d x + \int - \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int \frac{5 \sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 7

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (5 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x)$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (5 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x)$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Schritt 8.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 8.3.2

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.3.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 8.3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 8.3.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 8.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Schritt 8.3.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 8.4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 8.4.1

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 8.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 8.4.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 8.4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 5 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$\frac{4 x^{3}}{3} - 5 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 10.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$\frac{4 x^{3}}{3} - 10 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2.2

Stelle die Terme um.

$\frac{4}{3} x^{3} - 10 x^{\frac{1}{2}} + C$