Analysis Beispiele

$y = \sin (\sin (x))$ , $(3 π, 0)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 3 π$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\cos (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (\sin (x)) \cos (x)$

Schritt 1.3

Stelle die Faktoren von $\cos (\sin (x)) \cos (x)$ um.

$\cos (x) \cos (\sin (x))$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 3 π$ .

$\cos (3 π) \cos (\sin (3 π))$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\cos (π) \cos (\sin (3 π))$

Schritt 1.5.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- \cos (0) \cos (\sin (3 π))$

Schritt 1.5.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- 1 \cdot 1 \cos (\sin (3 π))$

Schritt 1.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 \cos (\sin (3 π))$

Schritt 1.5.5

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- 1 \cos (\sin (π))$

Schritt 1.5.6

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- 1 \cos (\sin (0))$

Schritt 1.5.7

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$- 1 \cos (0)$

Schritt 1.5.8

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 1.5.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $- 1$ und einen gegebenen Punkt $(3 π, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = - 1 \cdot (x - (3 π))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = - 1 \cdot (x - 3 π)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = - 1 \cdot (x - 3 π)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $- 1 \cdot (x - 3 π)$ .

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Schritt 2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 1 x - 1 (- 3 π)$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.2.1

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = - x - 1 (- 3 π)$

Schritt 2.3.2.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y = - x + 3 π$

Schritt 3