Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $x = 4 \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 4 \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \cos (t)$ positiv ist.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{16 - {(4 \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $4 \sin (t)$ an.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - (4^{2} \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - (16 \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.1.3

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $16$ aus $16$ heraus.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $16$ aus $- 16 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $16$ aus $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{16 \cos^{2} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.6

Schreibe $16 \cos^{2} (t)$ als ${(4 \cos (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{4 \cos (t)} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 \cos (t)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{{(4 \sin (t))}^{3}}{4 \cos (t)} (4 \cos (t)) d t$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\int {(4 \sin (t))}^{3} d t$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sin (t)$ heraus.

$\int {(4 (\sin (t)))}^{3} d t$

Schritt 2.2.2.2

Wende die Produktregel auf $4 (\sin (t))$ an.

$\int 4^{3} \sin^{3} (t) d t$

Schritt 2.2.2.3

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\int 64 \sin^{3} (t) d t$

Schritt 3

Da $64$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $64$ aus dem Integral.

$64 \int \sin^{3} (t) d t$

Schritt 4

Faktorisiere $\sin^{2} (t)$ aus.

$64 \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

Schritt 5

Schreibe $\sin^{2} (t)$ in $1 - \cos^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$64 \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

Schritt 6

Sei $u = \cos (t)$ . Dann ist $d u = - \sin (t) d t$ , folglich $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = \cos (t)$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Schritt 6.1.2

Die Ableitung von $\cos (t)$ nach $t$ ist $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$64 \int - 1 + u^{2} d u$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$64 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$64 (- u + C + \int u^{2} d u)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$64 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$64 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Schritt 10.2

Vereinfache.

$64 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Schritt 11

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 11.1

Ersetze alle $u$ durch $\cos (t)$ .

$64 (- \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t)) + C$

Schritt 11.2

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$64 (- \cos (\arcsin (\frac{x}{4})) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}, \frac{x}{4})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arcsin (\frac{x}{4})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}, \frac{x}{4})$ verläuft. Folglich ist $\cos (\arcsin (\frac{x}{4}))$ $\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}$ .

$64 (- \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Schritt 12.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$64 (- \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Schritt 12.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{x}{4}$ .

$64 (- \sqrt{(1 + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Schritt 12.1.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$64 (- \sqrt{(\frac{4}{4} + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Schritt 12.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$64 (- \sqrt{\frac{4 + x}{4} (1 - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Schritt 12.1.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$64 (- \sqrt{\frac{4 + x}{4} (\frac{4}{4} - \frac{x}{4})} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Schritt 12.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$64 (- \sqrt{\frac{4 + x}{4} \cdot \frac{4 - x}{4}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Schritt 12.1.8

Mutltipliziere $\frac{4 + x}{4}$ mit $\frac{4 - x}{4}$ .

$64 (- \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4 \cdot 4}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Schritt 12.1.9

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$64 (- \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Schritt 12.1.10

Schreibe $\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}$ als ${(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ um.

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Schritt 12.1.10.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(4 + x) (4 - x)$ heraus.

$64 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{16}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Schritt 12.1.10.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $4^{2}$ aus $16$ heraus.

$64 (- \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Schritt 12.1.10.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}$ um.

$64 (- \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Schritt 12.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$64 (- (\frac{1}{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Schritt 12.1.12

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$64 (- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))) + C$

Schritt 12.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))$ .

$64 (- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3}) + C$

Schritt 12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$64 (- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}) + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Schritt 12.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 12.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}$ in den Zähler.

$64 \frac{- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Schritt 12.4.2

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$4 (16) \frac{- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Schritt 12.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 16 \frac{- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Schritt 12.4.4

Forme den Ausdruck um.

$16 (- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}) + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Schritt 12.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{4}))}{3} + C$

Schritt 12.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.6.1

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}^{3}}{3} + C$

Schritt 12.6.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}}^{3}}{3} + C$

Schritt 12.6.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{x}{4}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{(1 + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

Schritt 12.6.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{(\frac{4}{4} + \frac{x}{4}) (1 - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

Schritt 12.6.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{4 + x}{4} (1 - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

Schritt 12.6.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{4 + x}{4} (\frac{4}{4} - \frac{x}{4})}}^{3}}{3} + C$

Schritt 12.6.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{4 + x}{4} \cdot \frac{4 - x}{4}}}^{3}}{3} + C$

Schritt 12.6.8

Mutltipliziere $\frac{4 + x}{4}$ mit $\frac{4 - x}{4}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4 \cdot 4}}}^{3}}{3} + C$

Schritt 12.6.9

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}}}^{3}}{3} + C$

Schritt 12.6.10

Schreibe $\frac{(4 + x) (4 - x)}{16}$ als ${(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ um.

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Schritt 12.6.10.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(4 + x) (4 - x)$ heraus.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{16}}}^{3}}{3} + C$

Schritt 12.6.10.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $4^{2}$ aus $16$ heraus.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}}}^{3}}{3} + C$

Schritt 12.6.10.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4^{2} \cdot 1}$ um.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}}^{3}}{3} + C$

Schritt 12.6.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{(\frac{1}{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)})}^{3}}{3} + C$

Schritt 12.6.12

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{{(\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4})}^{3}}{3} + C$

Schritt 12.6.13

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}$ an.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{3}}{4^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.6.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.6.14.1

Schreibe ${\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}^{3}$ als $\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{3}}$ um.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{3}}}{4^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.6.14.2

Wende die Produktregel auf $(4 + x) (4 - x)$ an.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{3} {(4 - x)}^{3}}}{4^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.6.14.3

Schreibe ${(4 + x)}^{3} {(4 - x)}^{3}$ als ${((4 + x) (4 - x))}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ um.

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Schritt 12.6.14.3.1

Faktorisiere ${(4 + x)}^{2}$ aus.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{2} (4 + x) {(4 - x)}^{3}}}{4^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.6.14.3.2

Faktorisiere ${(4 - x)}^{2}$ aus.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{2} (4 + x) ({(4 - x)}^{2} (4 - x))}}{4^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.6.14.3.3

Bewege $4 + x$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{(4 + x)}^{2} {(4 - x)}^{2} (4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.6.14.3.4

Schreibe ${(4 + x)}^{2} {(4 - x)}^{2}$ als ${((4 + x) (4 - x))}^{2}$ um.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{2} (4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.6.14.3.5

Füge Klammern hinzu.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{{((4 + x) (4 - x))}^{2} ((4 + x) (4 - x))}}{4^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.6.14.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 + x) (4 - x) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.6.14.5

Multipliziere $(4 + x) (4 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 12.6.14.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 (4 - x) + x (4 - x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.6.14.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.6.14.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.6.14.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 12.6.14.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.6.14.6.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.6.14.6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.6.14.6.1.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.6.14.6.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 x - x \cdot x) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.6.14.6.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.6.14.6.1.5.1

Bewege $x$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x)) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.6.14.6.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - 4 x + 4 x - x^{2}) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.6.14.6.2

Addiere $- 4 x$ und $4 x$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 + 0 - x^{2}) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.6.14.6.3

Addiere $16$ und $0$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{(16 - x^{2}) \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.6.14.7

Wende das Distributivgesetz an.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} - x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.6.14.8

Faktorisiere $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ aus $16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} - x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ heraus.

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Schritt 12.6.14.8.1

Faktorisiere $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ aus $16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ heraus.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 16 - x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.6.14.8.2

Faktorisiere $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ aus $- x^{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ heraus.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 16 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- x^{2})}{4^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.6.14.8.3

Faktorisiere $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ aus $\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 16 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- x^{2})$ heraus.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (16 - x^{2})}{4^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.6.14.9

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4^{2} - x^{2})}{4^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.6.14.10

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4$ und $b = x$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{4^{3}}}{3} + C$

Schritt 12.6.15

Potenziere $4$ mit $3$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64}}{3} + C$

Schritt 12.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.7.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 (\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64} \cdot \frac{1}{3}) + C$

Schritt 12.7.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 12.7.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64 \cdot 3} + C$

Schritt 12.7.2.2

Mutltipliziere $64$ mit $3$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{192} + C$

Schritt 12.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $64$ .

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Schritt 12.7.3.1

Faktorisiere $64$ aus $192$ heraus.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64 (3)} + C$

Schritt 12.7.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 64 \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{64 \cdot 3} + C$

Schritt 12.7.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

Schritt 12.8

Um $- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

Schritt 12.9

Kombiniere $- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

Schritt 12.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

Schritt 12.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.11.1

Faktorisiere $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ aus $- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3 + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)$ heraus.

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Schritt 12.11.1.1

Faktorisiere $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ aus $- 16 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \cdot 3$ heraus.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3) + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)}{3} + C$

Schritt 12.11.1.2

Faktorisiere $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ aus $\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (4 + x) (4 - x)$ heraus.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3) + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} ((4 + x) (4 - x))}{3} + C$

Schritt 12.11.1.3

Faktorisiere $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ aus $\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3) + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} ((4 + x) (4 - x))$ heraus.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 16 \cdot 3 + (4 + x) (4 - x))}{3} + C$

Schritt 12.11.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + (4 + x) (4 - x))}{3} + C$

Schritt 12.11.3

Multipliziere $(4 + x) (4 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 12.11.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 4 (4 - x) + x (4 - x))}{3} + C$

Schritt 12.11.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x))}{3} + C$

Schritt 12.11.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x))}{3} + C$

Schritt 12.11.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 12.11.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.11.4.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x))}{3} + C$

Schritt 12.11.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x))}{3} + C$

Schritt 12.11.4.1.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x))}{3} + C$

Schritt 12.11.4.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 x - x \cdot x)}{3} + C$

Schritt 12.11.4.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.11.4.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x))}{3} + C$

Schritt 12.11.4.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - 4 x + 4 x - x^{2})}{3} + C$

Schritt 12.11.4.2

Addiere $- 4 x$ und $4 x$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 + 0 - x^{2})}{3} + C$

Schritt 12.11.4.3

Addiere $16$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 48 + 16 - x^{2})}{3} + C$

Schritt 12.11.5

Addiere $- 48$ und $16$ .

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 32 - x^{2})}{3} + C$

Schritt 12.12

Schreibe $- 32$ als $- 1 (32)$ um.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 1 (32) - x^{2})}{3} + C$

Schritt 12.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 1 (32) - (x^{2}))}{3} + C$

Schritt 12.14

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (32) - (x^{2})$ heraus.

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (- 1 (32 + x^{2}))}{3} + C$

Schritt 12.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)} (32 + x^{2})}{3} + C$