Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $x = \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ positiv ist.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Ordne Terme um.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.1.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec (t)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $\sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Schritt 2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Schritt 3

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 4

Faktorisiere $\tan^{2} (t)$ aus.

$\int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 5

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 6

Vereinfache.

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Schritt 7

Sei $u = \sec (t)$ . Dann ist $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , folglich $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Es sei $u = \sec (t)$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Differenziere $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Schritt 7.1.2

Die Ableitung von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - 1 + u^{2} d u$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$- u + C + \int u^{2} d u$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 11

Vereinfache.

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 12

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Ersetze alle $u$ durch $\sec (t)$ .

$- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + C$

Schritt 12.2

Ersetze alle $t$ durch $\arctan (x)$ .

$- \sec (\arctan (x)) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + C$