Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{{(25 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - x^{2})}^{3}}} d x$

Schritt 2

Sei $x = 5 \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 5 \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \cos (t)$ positiv ist.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - {(5 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache $\sqrt{{(25 - {(5 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $5 \sin (t)$ an.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - (5^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - (25 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.1.3

Mutltipliziere $25$ mit $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - 25 \sin^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $25$ aus $25$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 (1) - 25 \sin^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $25$ aus $- 25 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $25$ aus $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 \cos^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.6

Wende die Produktregel auf $25 \cos^{2} (t)$ an.

$\int \frac{1}{\sqrt{25^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.7

Potenziere $25$ mit $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{15625 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.8

Multipliziere die Exponenten in ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{15625 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (5 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{15625 \cos^{6} (t)}} (5 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.9

Schreibe $15625 \cos^{6} (t)$ als ${(125 \cos^{3} (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(125 \cos^{3} (t))}^{2}}} (5 \cos (t)) d t$

Schritt 3.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{1}{125 \cos^{3} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 \cos (t)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Faktorisiere $5 \cos (t)$ aus $125 \cos^{3} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{5 \cos (t) (25 \cos^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{5 \cos (t) (25 \cos^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{25 \cos^{2} (t)} d t$

Schritt 4

Da $\frac{1}{25}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{25}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{25} \int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Schritt 5

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ nach $\sec^{2} (t)$ um.

$\frac{1}{25} \int \sec^{2} (t) d t$

Schritt 6

Da die Ableitung von $\tan (t)$ gleich $\sec^{2} (t)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (t)$ gleich $\tan (t)$ .

$\frac{1}{25} (\tan (t) + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

$\frac{1}{25} \tan (t) + C$

Schritt 8

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (\frac{x}{5})$ .

$\frac{1}{25} \tan (\arcsin (\frac{x}{5})) + C$

Schritt 9

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{25} \tan (\arcsin (\frac{1}{5} x)) + C$