Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{2} + 2 x + 3}{x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 1} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 1$ . Dann ist $d u = (3 x^{2} + 6 x + 9) d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = (x^{2} + 2 x + 3) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 1]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 6 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} + 6 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$3 x^{2} + 6 x + 9 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.5.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 6 x + 9 + 0$

Schritt 1.1.5.2

Addiere $3 x^{2} + 6 x + 9$ und $0$ .

$3 x^{2} + 6 x + 9$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Schritt 2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 1 |) + C$