Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{2}}{e^{x^{3}}} d x$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{x^{3}}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int x^{2} {(e^{x^{3}})}^{- 1} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x^{3}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{2} e^{x^{3} \cdot - 1} d x$

Schritt 1.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$\int x^{2} e^{- 1 \cdot x^{3}} d x$

Schritt 1.2.3

Schreibe $- 1 x^{3}$ als $- x^{3}$ um.

$\int x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Schritt 2

Sei $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Dann ist $d u_{2} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$ , folglich $- \frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{- x^{3}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Es sei $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere $e^{- x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{3}}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x^{3}$ .

$e^{- x^{3}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{- x^{3}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$e^{- x^{3}} (- (3 x^{2}))$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$ um.

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$

Schritt 2.1.4.2

Stelle die Faktoren in $- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$ um.

$- 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Schritt 3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{3} u_{2} + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{- x^{3}}$ .

$- \frac{1}{3} e^{- x^{3}} + C$