Analysis Beispiele

$\int \frac{\arctan (3 x)}{1 + 9 x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 3 x$ . Dann ist $d u_{1} = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{(1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}) \cdot 3} d u_{1}$

Schritt 2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}$ .

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{3 (1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2})} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}} d u_{1}$

Schritt 4

Sei $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} d u_{1}$ , folglich $- d u_{2} = \frac{- 1}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\arctan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\arctan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

Schritt 4.1.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1}$

Schritt 4.1.4

Ordne Terme um.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ als $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 7

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 7.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\arctan (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} {\arctan (u_{1})}^{2} + C$

Schritt 7.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{6} {\arctan (3 x)}^{2} + C$