Analysis Beispiele

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 25}}{x} d x$

Schritt 1

Sei $x = 5 \sec (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec (t) \tan (t)$ positiv ist.

$\int \frac{\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $5 \sec (t)$ an.

$\int \frac{\sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\int \frac{\sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $25$ aus $25 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{\sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $25$ aus $- 25$ heraus.

$\int \frac{\sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $25$ aus $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ heraus.

$\int \frac{\sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{\sqrt{25 \tan^{2} (t)}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.6

Schreibe $25 \tan^{2} (t)$ als ${(5 \tan (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}}}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{5 \tan (t)}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 \sec (t)$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $5 \sec (t)$ aus $5 \sec (t) \tan (t)$ heraus.

$\int \frac{5 \tan (t)}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) (\tan (t))) d t$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{5 \tan (t)}{5 \sec (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int 5 \tan (t) \tan (t) d t$

Schritt 3

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\int 5 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Schritt 4

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\int 5 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 5 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Schritt 6

Addiere $1$ und $1$ .

$\int 5 \tan^{2} (t) d t$

Schritt 7

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int \tan^{2} (t) d t$

Schritt 8

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$5 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$5 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$5 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

Schritt 11

Da die Ableitung von $\tan (t)$ gleich $\sec^{2} (t)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (t)$ gleich $\tan (t)$ .

$5 (- t + C + \tan (t) + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

$5 (- t + \tan (t)) + C$

Schritt 13

Ersetze alle $t$ durch $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \tan (arcsec (\frac{x}{5}))) + C$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $arcsec (\frac{x}{5})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\tan (arcsec (\frac{x}{5}))$ $\sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1}) + C$

Schritt 14.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{{(\frac{x}{5})}^{2} - 1^{2}}) + C$

Schritt 14.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{x}{5}$ und $b = 1$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{(\frac{x}{5} + 1) (\frac{x}{5} - 1)}) + C$

Schritt 14.1.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{(\frac{x}{5} + \frac{5}{5}) (\frac{x}{5} - 1)}) + C$

Schritt 14.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1)}) + C$

Schritt 14.1.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}) + C$

Schritt 14.1.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{x + 5}{5} (\frac{x}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}) + C$

Schritt 14.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{x + 5}{5} \cdot \frac{x - 1 \cdot 5}{5}}) + C$

Schritt 14.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{x + 5}{5} \cdot \frac{x - 5}{5}}) + C$

Schritt 14.1.10

Mutltipliziere $\frac{x + 5}{5}$ mit $\frac{x - 5}{5}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{5 \cdot 5}}) + C$

Schritt 14.1.11

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{25}}) + C$

Schritt 14.1.12

Schreibe $\frac{(x + 5) (x - 5)}{25}$ als ${(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ um.

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Schritt 14.1.12.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(x + 5) (x - 5)$ heraus.

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{25}}) + C$

Schritt 14.1.12.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $5^{2}$ aus $25$ heraus.

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}}) + C$

Schritt 14.1.12.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{5^{2} \cdot 1}$ um.

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((x + 5) (x - 5))}) + C$

Schritt 14.1.13

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \frac{1}{5} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}) + C$

Schritt 14.1.14

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}) + C$

Schritt 14.2

Um $- arcsec (\frac{x}{5})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$5 (- arcsec (\frac{x}{5}) \cdot \frac{5}{5} + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}) + C$

Schritt 14.3

Kombiniere $- arcsec (\frac{x}{5})$ und $\frac{5}{5}$ .

$5 (\frac{- arcsec (\frac{x}{5}) \cdot 5}{5} + \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5}) + C$

Schritt 14.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 \frac{- arcsec (\frac{x}{5}) \cdot 5 + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + C$

Schritt 14.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 14.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{- arcsec (\frac{x}{5}) \cdot 5 + \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{5} + C$

Schritt 14.5.2

Forme den Ausdruck um.

$- arcsec (\frac{x}{5}) \cdot 5 + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + C$

Schritt 14.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 5 arcsec (\frac{x}{5}) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + C$

Schritt 15

Stelle die Terme um.

$- 5 arcsec (\frac{1}{5} x) + \sqrt{(x + 5) (x - 5)} + C$