Analysis Beispiele

$\int \frac{\sqrt{4 x^{2} - 9}}{x} d x$

Schritt 1

Sei $x = \frac{3}{2} \sec (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ positiv ist.

$\int \frac{\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 9}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 {(\frac{3 \sec (t)}{2})}^{2} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 \sec (t)}{2}$ an.

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.2.2

Wende die Produktregel auf $3 \sec (t)$ an.

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $9$ aus $9 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $9$ aus $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ heraus.

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.6

Schreibe $9 \tan^{2} (t)$ als ${(3 \tan (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{3 \tan (t)}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $\sec (t)$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{\frac{3 \sec (t)}{2}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{3 \sec (t)}{2}$ zu dividieren.

$\int 3 \tan (t) \frac{2}{3 \sec (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{2}{3 \sec (t)}$ und $3$ .

$\int \frac{2 \cdot 3}{3 \sec (t)} \tan (t) \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\int \frac{6}{3 \sec (t)} \tan (t) \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $\frac{6}{3 \sec (t)}$ und $\tan (t)$ .

$\int \frac{6 \tan (t)}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 2.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $6 \tan (t)$ heraus.

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sec (t)$ heraus.

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 (\sec (t))} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{2 \tan (t)}{\sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $\frac{2 \tan (t)}{\sec (t)}$ mit $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ .

$\int \frac{2 \tan (t) (3 \sec (t) \tan (t))}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\int \frac{6 \tan (t) (\sec (t) \tan (t))}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Schritt 2.2.9

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\int \frac{6 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Schritt 2.2.10

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\int \frac{6 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Schritt 2.2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{6 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Schritt 2.2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \frac{6 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Schritt 2.2.13

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec (t)$ .

$\int \frac{6 \tan^{2} (t) \sec (t)}{2 \cdot \sec (t)} d t$

Schritt 2.2.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 2.2.14.1

Faktorisiere $2$ aus $6 \tan^{2} (t) \sec (t)$ heraus.

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 \sec (t)} d t$

Schritt 2.2.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.14.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sec (t)$ heraus.

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 (\sec (t))} d t$

Schritt 2.2.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 \sec (t)} d t$

Schritt 2.2.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{3 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t)} d t$

Schritt 2.2.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec (t)$ .

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Schritt 2.2.15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{3 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t)} d t$

Schritt 2.2.15.2

Dividiere $3 \tan^{2} (t)$ durch $1$ .

$\int 3 \tan^{2} (t) d t$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \tan^{2} (t) d t$

Schritt 4

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$3 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$3 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$3 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

Schritt 7

Da die Ableitung von $\tan (t)$ gleich $\sec^{2} (t)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (t)$ gleich $\tan (t)$ .

$3 (- t + C + \tan (t) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$3 (- t + \tan (t)) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $t$ durch $arcsec (\frac{2 x}{3})$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \tan (arcsec (\frac{2 x}{3}))) + C$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $arcsec (\frac{2 x}{3})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\tan (arcsec (\frac{2 x}{3}))$ $\sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1}) + C$

Schritt 10.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}}) + C$

Schritt 10.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{2 x}{3}$ und $b = 1$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(\frac{2 x}{3} + 1) (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

Schritt 10.1.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(\frac{2 x}{3} + \frac{3}{3}) (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

Schritt 10.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

Schritt 10.1.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}) + C$

Schritt 10.1.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}) + C$

Schritt 10.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} \cdot \frac{2 x - 1 \cdot 3}{3}}) + C$

Schritt 10.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} \cdot \frac{2 x - 3}{3}}) + C$

Schritt 10.1.10

Mutltipliziere $\frac{2 x + 3}{3}$ mit $\frac{2 x - 3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{3 \cdot 3}}) + C$

Schritt 10.1.11

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{9}}) + C$

Schritt 10.1.12

Schreibe $\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{9}$ als ${(\frac{1}{3})}^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))$ um.

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Schritt 10.1.12.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(2 x + 3) (2 x - 3)$ heraus.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{9}}) + C$

Schritt 10.1.12.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9$ heraus.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{3^{2} \cdot 1}}) + C$

Schritt 10.1.12.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}) + C$

Schritt 10.1.13

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \frac{1}{3} \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}) + C$

Schritt 10.1.14

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

Schritt 10.2

Um $- arcsec (\frac{2 x}{3})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

Schritt 10.3

Kombiniere $- arcsec (\frac{2 x}{3})$ und $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

Schritt 10.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3} + C$

Schritt 10.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3} + C$

Schritt 10.5.2

Forme den Ausdruck um.

$- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$

Schritt 10.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$- 3 arcsec (\frac{2}{3} x) + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$