Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} - 3}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Bringe $x^{\frac{2}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

Schritt 1.2.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{\frac{- 2}{3}} d x$

Schritt 1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{- \frac{2}{3}} d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{\frac{1}{3}} - 3$ . Dann ist $d u = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} d x$ , folglich $- d u = \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x^{\frac{1}{3}} - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{\frac{1}{3}} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 3]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{1}{3}} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.3.5.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 0$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Schritt 2.1.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Schritt 2.1.5.2.2

Addiere $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ und $0$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 3 u d u$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int u d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $3 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ als $3 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ um.

$3 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Schritt 5.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{2} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{3}} - 3$ .

$\frac{3}{2} {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + C$