Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{\sqrt{9 x^{2} - 4}} d x$

Schritt 1

Sei $x = \frac{2}{3} \sec (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3}$ positiv ist.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 {(\frac{2}{3} \sec (t))}^{2} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{9 {(\frac{2}{3} \sec (t))}^{2} - 4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 {(\frac{2 \sec (t)}{3})}^{2} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sec (t)}{3}$ an.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{{(2 \sec (t))}^{2}}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.2.2

Wende die Produktregel auf $2 \sec (t)$ an.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{2^{2} \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{3^{2}} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{9} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \frac{4 \sec^{2} (t)}{9} - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.6

Schreibe $4 \tan^{2} (t)$ als ${(2 \tan (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{1}{2 \tan (t)} \cdot \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3} d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \tan (t)}$ mit $\frac{2 \sec (t) \tan (t)}{3}$ .

$\int \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{2 \tan (t) \cdot 3} d t$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\int \frac{2 \sec (t) \tan (t)}{6 \tan (t)} d t$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sec (t) \tan (t)$ heraus.

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{6 \tan (t)} d t$

Schritt 2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 \tan (t)$ heraus.

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{2 (3 \tan (t))} d t$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{2 (\sec (t) \tan (t))}{2 (3 \tan (t))} d t$

Schritt 2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{\sec (t) \tan (t)}{3 \tan (t)} d t$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\tan (t)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{\sec (t) \tan (t)}{3 \tan (t)} d t$

Schritt 2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{\sec (t)}{3} d t$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \sec (t) d t$

Schritt 4

Das Integral von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Schritt 6

Ersetze alle $t$ durch $arcsec (\frac{3 x}{2})$ .

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (arcsec (\frac{3 x}{2})) + \tan (arcsec (\frac{3 x}{2})) |) + C$

Schritt 7

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} \ln (| \sec (arcsec (\frac{3}{2} x)) + \tan (arcsec (\frac{3}{2} x)) |) + C$