Analysis Beispiele

$y = (\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) (x^{2} + 1)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) (x^{2} + 1))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

$(\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}]$

Schritt 3.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) (2 x + 0) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}]$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$(\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) (2 x) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}]$

Schritt 3.2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}$ .

$2 \cdot (\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) x + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}]$

Schritt 3.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x}{3.8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3.8}{x}]$ .

$2 (\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [\frac{x}{3.8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3.8}{x}])$

Schritt 3.2.6

Da $\frac{1}{3.8}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{3.8}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3.8} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3.8}{x}])$

Schritt 3.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{3.8}{x}])$

Schritt 3.2.8

Mutltipliziere $\frac{1}{3.8}$ mit $1$ .

$2 (\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} + \frac{d}{d x} [\frac{3.8}{x}])$

Schritt 3.2.9

Da $3.8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3.8}{x}$ nach $x$ gleich $3.8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 (\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} + 3.8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 3.2.10

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$2 (\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} + 3.8 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Schritt 3.2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 (\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} + 3.8 (- x^{- 2}))$

Schritt 3.2.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $3.8$ .

$2 (\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 x^{- 2})$

Schritt 3.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 \frac{x}{3.8} + 2 \frac{3.8}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \frac{x}{3.8} x + 2 \frac{3.8}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{3.8}$ .

$\frac{2 x}{3.8} x + 2 \frac{3.8}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.4.3.2

Kombiniere $\frac{2 x}{3.8}$ und $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{3.8} + 2 \frac{3.8}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.4.3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{3.8} + 2 \frac{3.8}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.4.3.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{3.8} + 2 \frac{3.8}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.4.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{3.8} + 2 \frac{3.8}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.4.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.8} + 2 \frac{3.8}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.4.3.7

Kombiniere $2$ und $\frac{3.8}{x}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.8} + \frac{2 \cdot 3.8}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.4.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $3.8$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.8} + \frac{7.6}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.4.3.9

Kombiniere $\frac{7.6}{x}$ und $x$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.8} + \frac{7.6 x}{x} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.4.3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.4.3.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{3.8} + \frac{7.6 x}{x} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.4.3.10.2

Dividiere $7.6$ durch $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.8} + 7.6 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.4.3.11

Kombiniere $- 3.8$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.8} + 7.6 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} + \frac{- 3.8}{x^{2}})$

Schritt 3.4.3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 x^{2}}{3.8} + 7.6 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - \frac{3.8}{x^{2}})$

Schritt 3.4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{2 x^{2}}{3.8} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - \frac{3.8}{x^{2}}) + 7.6$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{2 x^{2}}{3.8} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - \frac{3.8}{x^{2}}) + 7.6$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2}}{3.8} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - \frac{3.8}{x^{2}}) + 7.6$