Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $x = \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positiv ist.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}$ .

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Schritt 2.1.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 2.1.5

Schreibe $4 \cos^{2} (t)$ als ${(2 \cos (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Schritt 2.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{1}{2 \cos (t)} \cos (t) d t$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $\cos (t)$ aus $2 \cos (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{\cos (t) \cdot 2} \cos (t) d t$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{\cos (t) \cdot 2} \cos (t) d t$

Schritt 2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{2} d t$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} t + C$

Schritt 4

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + C$