Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{t \sqrt{t}} d t$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1}{t \cdot t^{\frac{1}{2}}} d t$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $t$ mit $t^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.1

Mutltipliziere $t$ mit $t^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{t^{1} t^{\frac{1}{2}}} d t$

Schritt 1.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{1}{t^{1 + \frac{1}{2}}} d t$

Schritt 1.1.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{1}{t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} d t$

Schritt 1.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{1}{t^{\frac{2 + 1}{2}}} d t$

Schritt 1.1.2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\int \frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} d t$

Schritt 1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.2.1

Bringe $t^{\frac{3}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(t^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d t$

Schritt 1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int t^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d t$

Schritt 1.2.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$\int t^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d t$

Schritt 1.2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int t^{\frac{- 3}{2}} d t$

Schritt 1.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int t^{- \frac{3}{2}} d t$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{- \frac{3}{2}}$ nach $t$ gleich $- 2 t^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 t^{- \frac{1}{2}} + C$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Schreibe $- 2 t^{- \frac{1}{2}} + C$ als $- 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C$ um.

$- 2 \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + C$