Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{x \ln (3 x)} d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \ln (3 x)$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \ln (3 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\ln (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.3.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3 x}$ .

$\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.1.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\ln (3 x)$ .

$\ln (| \ln (3 x) |) + C$