Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{3 + 25 x^{2}} d x$

Schritt 1

Faktorisiere $25$ aus $3 + 25 x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $25$ aus $3$ heraus.

$\int \frac{1}{25 (\frac{3}{25}) + 25 x^{2}} d x$

Schritt 1.2

Faktorisiere $25$ aus $25 x^{2}$ heraus.

$\int \frac{1}{25 (\frac{3}{25}) + 25 (x^{2})} d x$

Schritt 1.3

Faktorisiere $25$ aus $25 (\frac{3}{25}) + 25 (x^{2})$ heraus.

$\int \frac{1}{25 (\frac{3}{25} + x^{2})} d x$

Schritt 2

Da $\frac{1}{25}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{25}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{25} \int \frac{1}{\frac{3}{25} + x^{2}} d x$

Schritt 3

Schreibe $\frac{3}{25}$ als ${(\frac{\sqrt{3}}{5})}^{2}$ um.

$\frac{1}{25} \int \frac{1}{{(\frac{\sqrt{3}}{5})}^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{{(\frac{\sqrt{3}}{5})}^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{5}} \arctan (\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{5}}) + C$ .

$\frac{1}{25} (\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{5}} \arctan (\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{5}}) + C)$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sqrt{3}}{5}$ zu dividieren.

$\frac{1}{25} (1 \frac{5}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{5}}) + C)$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{3}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{25} (\frac{5}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{5}}) + C)$

Schritt 5.1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sqrt{3}}{5}$ zu dividieren.

$\frac{1}{25} (\frac{5}{\sqrt{3}} \arctan (x \frac{5}{\sqrt{3}}) + C)$

Schritt 5.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{5}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{25} (\frac{5}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{x \cdot 5}{\sqrt{3}}) + C)$

Schritt 5.1.5

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{25} (\frac{5}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{5 \cdot x}{\sqrt{3}}) + C)$

Schritt 5.1.6

Kombiniere $\frac{5}{\sqrt{3}}$ und $\arctan (\frac{5 x}{\sqrt{3}})$ .

$\frac{1}{25} (\frac{5 \arctan (\frac{5 x}{\sqrt{3}})}{\sqrt{3}} + C)$

Schritt 5.2

Schreibe $\frac{1}{25} (\frac{5 \arctan (\frac{5 x}{\sqrt{3}})}{\sqrt{3}} + C)$ als $\frac{1}{25} \cdot \frac{5 \arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})}{\sqrt{3}} + C$ um.

$\frac{1}{25} \cdot \frac{5 \arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})}{\sqrt{3}} + C$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{25}$ mit $\frac{5 \arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{5 \arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})}{25 \sqrt{3}} + C$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $25$ .

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})$ heraus.

$\frac{5 (\arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3}))}{25 \sqrt{3}} + C$

Schritt 5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{5 (\arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3}))}{5 (5 \sqrt{3})} + C$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})}{5 (5 \sqrt{3})} + C$

Schritt 5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\arctan (\frac{5 x \sqrt{3}}{3})}{5 \sqrt{3}} + C$

Schritt 5.4

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{5 \sqrt{3}} \arctan (\frac{5 \sqrt{3}}{3} x) + C$