Analysis Beispiele

$\cos (3 x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 \sin (3 x) \cdot 1$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f' (x) = - 3 \sin (3 x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 \sin (3 x)$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$- 3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$- 3 (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$- 9 \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 9 \cos (3 x) \cdot 1$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 9 \cos (3 x)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 \cos (3 x)$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$- 9 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- 9 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$- 9 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$9 (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 3.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$27 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$27 \sin (3 x) \cdot 1$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $27$ mit $1$ .

$f''' (x) = 27 \sin (3 x)$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27 \sin (3 x)$ nach $x$ gleich $27 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$27 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$27 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 4.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$27 (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$27 (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 4.3

Differenziere.

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Schritt 4.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$27 \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $27$ .

$81 \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$81 \cos (3 x) \cdot 1$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $81$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = 81 \cos (3 x)$