Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x - 1}{2 - x}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{2}{x} - \frac{x}{x}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{2}{x} - \frac{x}{x}}$

Schritt 2.1.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{1}{x}}{\frac{2}{x} - \frac{x}{x}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{1}{x}}{\frac{2}{x} - \frac{x}{x}}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{1}{x}}{\frac{2}{x} - 1 \cdot 1}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{1}{x}}{\frac{2}{x} - 1}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - 1}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - 1}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{3 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - 1}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{3 - 0}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - 1}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{3 - 0}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 - 0}{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{3 - 0}{2 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{3 - 0}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{3 + 0}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Schritt 6.2.1.2

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{3}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{3}{0 - 1 \cdot 1}$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3}{0 - 1}$

Schritt 6.2.2.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{3}{- 1}$

Schritt 6.2.3

Dividiere $3$ durch $- 1$ .

$- 3$